如图1所示，轻质弹簧原长为2L，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L．现将该弹簧水平放置（如图2所示，弹簧图略

Question

如图1所示，轻质弹簧原长为2L，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L．现将该弹簧水平放置（如图2所示，弹簧图略缩小），一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5L的水平轨道，B端与半径为L的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD在竖直方向上，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度为L处，然后释放P，P开始沿轨道运动，重力加速度为g．

（1）求当弹簧压缩至长度为三时的弹性势能E_p；
（2）若P的质量为m，求物体离开圆轨道后落至AB上的位置与B点之间的距离s；
（3）为使物块P滑上圆轨道后又能沿圆轨道滑回，求物块P的质量取值范围．

Answer 1

（1）由机械能守恒定律知，弹簧长度为L时的弹性势能为E_P，
所以有：E_P=5mgL
（2）设P到达B点时的速度大小为v_B，由能量守恒定律得：E_P=(1)/(2)mv_B²+μmg（5L-L）
代入数据解得：v_B=√(6gL)
设P滑到D点时的速度为v_D，由机械能守恒定律得：(1)/(2)mv_B²=(1)/(2)mv_D²+2mgL
解得：v_D=√(2gL)
物体从D点以速度v_D水平射出，设P落回到轨道AB所需时间为t
竖直方向上：2L=(1)/(2)gt²
水平方向上：s=v_Dt
联立解得：s=2√(2L)
（3）设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于0，
则有：5mgL>4μMgL
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C，
则有：(1)/(2)Mv_B²≤MgL
由能量关系有：E_P=(1)/(2)Mv_B²+4μMgL
解得：(5)/(3)m≤M≤(5)/(2)m
答：（1）当弹簧压缩至长度为L时的弹性势能为5mgL；
（2）物体离开圆轨道后落至AB上的位置与B点之间的距离为2√(2L)；
（3）物块P的质量取值范围为(5)/(3)m≤M≤(5)/(2)m．