如图所示，OABC是一桌球台面．取OA为x轴，OC为y轴，P是红球，坐标为（x，y），Q为白球，坐标为（x′，y′）（图中未画出Q球在台面上的位置）．已知OA=BC=25分米，AB=OC=12分米．（1）若P球的

Question

如图所示，OABC是一桌球台面．取OA为x轴，OC为y轴，P是红球，坐标为（x，y），Q为白球，坐标为（x′，y′）（图中未画出Q球在台面上的位置）．已知OA=BC=25分米，AB=OC=12分米．
（1）若P球的坐标为：x=10分米，y=8分米．问Q球的位置在什么范围内时，可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球？
（2）P球有没有一些位置是Q球无论在什么地方出发，按上述次序从四壁反弹后都无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围（白球Q同四壁的碰撞均为弹性碰撞，两球体积很小，可看作质点）．

Answer 1

小球的弹性碰撞可等效与光的反射，故可以根据光的发射原理画出P的4个虚像，如图；可知P₄的坐标是（60，32），O₂的坐标是（50，24），则能够顺次与AB、BC、CO和OA四壁反射的光线的临界光线是过P₄O₂的光线与过AP₄的光线．

则P₄O₂的直线方程是：(y−32)/(x−60)＝(y−24)/(x−50)
整理得：5y-4x+80=0
该直线与x轴的交点M：x=20，与AB直线的交点N：5y-4×25+80=0，即y=4
因此，当白球Q的位置在A（25，0）、N（25，4）、M（20，0）三点构成的三角形的范围内（不含AN、MN边）时，可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球．
（2）若将点光源放在任意的位置，经4次反射后照亮的区域的边界如图：

由图可知，过A点的点光源的光经过4次反射后的范围最大，在直线AO₂与直线AA₂所围成的范围内，其中直线AO₂为边界，左侧为不能照亮的区域，右侧为能够照亮的区域．直线AO₂的方程为：
(y−0)/(x−25)＝(y−24)/(x−50)
整理为：25y-24x+600=0
直线的斜率：k=(24)/(25)
与直线C₂B₂的交点D为：（(25×36+600)/(24)，36）．即：（62.5，36）
过原点做直线C₂B₂的平行线y=kx，与BC交于F点，可得F点的坐标（12.5，12），由镜像成像的原理可知，O₂C₂D所围成的区域与OABC中OCF围成的区域（图中红色线的阴影部分）是相同的．即当红球P位于O（0，0）、C（0，12）和F（12.5，12）三点构成的范围内时（图中红色线的阴影部分，包含三角形的边），Q球无论如何都不能击中P球．
答：（1）当白球Q的位置在A（25，0）、N（25，4）、M（20，0）三点构成的三角形的范围内（不含AN、MN边）时，可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球．（2）即当红球P位于O（0，0）、C（0，12）和F（12.5，12）三点构成的范围内时（图中红色线的阴影部分，包含三角形的边），Q球无论如何都不能击中P球．