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(2013•闸北区二模)现有一个由长半轴为2,短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180°所形成的“橄榄球面”.已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面,则这个圆柱的侧面
题目详情
(2013•闸北区二模)现有一个由长半轴为2,短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180°所形成的“橄榄球面”.已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面,则这个圆柱的侧面积的最大值是______.
▼优质解答
答案和解析
由题意作截面图如图,

在图中坐标系下,设圆柱与橄榄球面在第一象限内的切点为P(a,b)(a>0,b>0),
则椭圆方程为
+y2=1.
因为P在椭圆上,所以
+b2=1.
所以ab=2•
≤
+b2=1.
当且仅当
=b,即a=
,b=
时“=”成立.
而圆柱的底面半径等于b,母线长等于2a,
所以圆柱的侧面积S=4πab.则S的最大值等于4π.
故答案为4π.

在图中坐标系下,设圆柱与橄榄球面在第一象限内的切点为P(a,b)(a>0,b>0),
则椭圆方程为
x2 |
4 |
因为P在椭圆上,所以
a2 |
4 |
所以ab=2•
ab |
2 |
a2 |
4 |
当且仅当
a |
2 |
2 |
| ||
2 |
而圆柱的底面半径等于b,母线长等于2a,
所以圆柱的侧面积S=4πab.则S的最大值等于4π.
故答案为4π.
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