（2013•闸北区二模）现有一个由长半轴为2，短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180°所形成的“橄榄球面”．已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面，则这个圆柱的侧面

Question

（2013•闸北区二模）现有一个由长半轴为2，短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180°所形成的“橄榄球面”．已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面，则这个圆柱的侧面积的最大值是______．

Answer 1

由题意作截面图如图，

在图中坐标系下，设圆柱与橄榄球面在第一象限内的切点为P（a，b）（a＞0，b＞0），
则椭圆方程为(x2)/(4)+y2＝1．
因为P在椭圆上，所以(a2)/(4)+b2＝1．
所以ab＝2•(ab)/(2)≤(a2)/(4)+b2＝1．
当且仅当(a)/(2)＝b，即a＝√(2)，b＝(√(2))/(2)时“=”成立．
而圆柱的底面半径等于b，母线长等于2a，
所以圆柱的侧面积S=4πab．则S的最大值等于4π．
故答案为4π．