直角三角形求证两直角边的平方和等于斜边的平方

Question

直角三角形
求证两直角边的平方和等于斜边的平方

Answer 1

设三条边分别为a、b、c,对应的角分别为角A、角B、角C
过C点做c边的垂线,即三角形的高,垂足为D,设此高长度为h
则三角形的面积S＝hc/2
因为BD＝根号（a*a-h*h） AD=根号（b*b-h*h）
所以AB＝BD＋AD＝根号（a*a-h*h）＋根号（b*b-h*h）
因为AB＝c
所以c＝根号（a*a-h*h）＋根号（b*b-h*h）
两边平方得：
c*c=(a*a-h*h)+(b*b-h*h)+2*根号[a*a*b*b-(a*a+b*b)*h*h+h*h*h*h]
因为c*c=a*a+b*b,代入上式得：
2*根号[a*a*b*b-c*c*h*h+h*h*h*h]＝2*h*h
两边平方得：
a*a*b*b-c*c*h*h+h*h*h*h＝h*h*h*h
所以a*a*b*b＝c*c*h*h
两边开方得：
a*b＝c*h
因为三角形面积S＝c*h/2＝a*b/2
因为a、b为三角形两条边,
所以只有直角三角形才有可能
即从c*c=a*a+b*b 推出为直角三角形