一道数学题,求教!已知（2+根号3）的n次方=An+Bnx根号3（An,Bn都为正整数）那么(An)的2次方减去3倍（Bn)的2次方用n表示是什么?那要怎么证明不管n等于几，这个式子都等于1呢？

Question

一道数学题,求教!
已知（2+根号3）的n次方=An+Bnx根号3（An,Bn都为正整数）
那么(An)的2次方减去3倍（Bn)的2次方用n表示是什么?
那要怎么证明不管n等于几，这个式子都等于1呢？

Answer 1

如果你学过二项式展开的话,那么
(2 - \sqrt{3}) = A_n - \sqrt{3} B_n
应该是比较显然的
没学过的话,可以想象一下,根3的奇数次在\sqrt{3}B_n中,偶数次在A_n中,把跟3换成 -根3 的话A_n \sqrt{3}B_n 的符号会反过来
于是有
A_n^2 - 3B_n^2 = (A_n + \sqrt{3}B_n)(A_n - \sqrt{3}B_n)
= (2 + \sqrt{3})^n (2 - \sqrt{3})^n
= ((2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}))^n
= 1 ^ n
= 1