已知sin(派/4+a)sin(派/4-a)=1/6,且a的属于（派/2,派）,求tan4a的值

Question

已知sin(派/4+a)sin(派/4-a)=1/6,且a的属于（派/2,派）,求tan4a的值

Answer 1

根据和角公式和倍角公式,得：
sin(π/4＋a)·sin(π/4－a)
＝[sin(π/4)·cosa＋cos(π/4)·sina]·[sin(π/4)·cosa－cos(π/4)·sina]
＝[sqrt(2)/2·(cosa＋sina)]·[sqrt(2)/2·(cosa－sina)]
＝(1/2)·(cosa＋sina)·(cosa－sina)
＝(1/2)·(cos²a－sin²a)
＝(1/2)·cos(2a)
＝1/6
∴cos(2a)＝1/3
∵a∈(π/2,π)
∴2a∈(π,2π)
∵cos(2a)＝1/3 > 0
∴2a∈(3π/2,2π)
∴sin(2a) < 0
∴sin(2a)＝-sqrt[1－cos²(2a)]＝-sqrt[1－(1/3)²]＝-2sqrt(2)/3
∴tan(2a)＝sin(2a)/cos(2a)＝[-2sqrt(2)/3]/(1/3)＝-2sqrt(2)
∴tan(4a)＝2tan(2a)/[1－tan²(2a)] ＝2·-2sqrt(2)/[1－(-2sqrt(2))²] ＝-4sqrt(2)/7
注：sqrt(x)表示x的算术平方根.