在△ABC中,有2S△ABC=-BA（向量）·BC（向量）=3根号2①求AC（向量）²sin(A+B)sin(B+C)的值②若2BD(向量)=BC(向量),求AD（向量）²的最小值

Question

在△ABC中,有2S△ABC=-BA（向量）·BC（向量）=3根号2 ①求AC（向量）²sin(A+B)sin(B+C)的值 ②若2BD(向量)=BC(向量),求AD（向量）²的最小值

Answer 1

在△ABC中,有2S△ABC=-BA（向量）·BC（向量）=-|BA||BC|cosB=|BA||BC|sinB=3√2,
∴sinB=-cosB,tanB=-1,B=135°,
∴|BA||BC|=6.
①由正弦定理,AC=|BC|sinB/sinA=|BA|sinB/sinC
原式=AC^2*sinCsinA=|BC||BA|(sinB)^2=3.
②由向量2BD=BC知向量AD=(AB+AC)/2=(2AB+BC)/2,
∴AD^2=(4AB^2+4AB*BC+BC^2)/4=(4AB^2+BC^2+12√2)/4
>=(8|BA||BC|+12√2)/4=12+3√2,
当|BC|=2|BA|=2√3时取等号,
∴AD^2的最小值=12+3√2.