在三棱锥P-abc中三角形pab是等边三角形角pac=角pbc=90度若pc＝4且面pac垂直面pbc求Vp-abc

Question

在三棱锥P-abc中三角形pab是等边三角形角pac=角pbc=90度 若pc＝4且面pac垂直面pbc求Vp-abc

Answer 1

在Δpac和Δpbc中,分别作ad⊥pc,bd1⊥pc
因为两平面pac和pbc相互垂直
则ad⊥平面bpc,bd1⊥平面apc
因为三角形pac和pbc是直角三角形
Pa=pb,pc=pc
∴ RtΔpac≌RtΔpbc 得到ac=bc
在Δadp和Δbdp中
∵ pa=pb,ad=bd1
∴ RtΔadp≌RtΔbd1p
∴ ad=bd1,即d与d1重合
∴ ad⊥平面bpc
∴ Δadb是RtΔ
又∵ ad=bd,ad^2+bd^2=ab^2
∴ 2ad^2=ab^2
令ab=a,则ad=a/√2
在RtΔpac和RtΔadc中,有
(4-a/√2)^2+(a/√2)^2=ac^2.1)
a^2+ac^2=4^2.2)
解方程组的a=2√2
∴ ad=2√2/√2=2
∴ Vp-abc=(1/3)*Spbc*ad=(1/3)*(1/2)*4*2*2
=8/3