已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：a+b+c=32①b+c−abc+c+a−bca+a+b−cab＝14②是否存在以a，b，c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．

Question

已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32                          ①
(b+c−a)/(bc)+(c+a−b)/(ca)+(a+b−c)/(ab)＝(1)/(4)②
是否存在以√(a)，√(b)，√(c)为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．

Answer 1

解法1：将①②两式相乘，得((b+c−a)/(bc)+(c+a−b)/(ca)+(a+b−c)/(ab))(a+b+c)＝8，
即((b+c)2−a2)/(bc)+((c+a)2−b2)/(ca)+((a+b)2−c2)/(ab)＝8，
即((b+c)2−a2)/(bc)−4+((c+a)2−b2)/(ca)−4+((a+b)2−c2)/(ab)＝0，
即((b−c)2−a2)/(bc)+((c−a)2−b2)/(ca)+((a+b)2−c2)/(ab)＝0，
即((b−c+a)(b−c−a))/(bc)+((c−a+b)(c−a−b))/(ca)+((a+b+c)(a+b−c))/(ab)＝0，
即((b−c+a))/(abc)[a(b−c−a)−b(c−a+b)+c(a+b+c)]＝0，
即((b−c+a))/(abc)[2ab−a2−b2+c2]＝0，
即((b−c+a))/(abc)[c2−(a−b)2]＝0，
即((b−c+a))/(abc)(c+a−b)(c−a+b)＝0，
所以b-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以√(a)，√(b)，√(c)为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
解法2：结合①式，由②式可得(32−2a)/(bc)+(32−2b)/(ca)+(32−2c)/(ab)＝(1)/(4)，
变形，得1024−2(a2+b2+c2)＝(1)/(4)abc③
又由①式得（a+b+c）²=1024，即a²+b²+c²=1024-2（ab+bc+ca），
代入③式，得1024−2[1024−2(ab+bc+ca)]＝(1)/(4)abc，
即abc=16（ab+bc+ca）-4096．（a-16）（b-16）（c-16）=abc-16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）-16³=-4096+256×32-16³=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以√(a)，√(b)，√(c)为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．