如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．（Ⅰ）求三棱锥B-ACD的体积VB-ACD；（Ⅱ）现发现BC边上距点C的13处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱

Question

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．

（Ⅰ）求三棱锥B-ACD的体积V_B-ACD；
（Ⅱ）现发现BC边上距点C的(1)/(3)处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．

_B-ACD
(1)/(3)处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．(1)/(3)1133

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD
∵面ABC⊥面ACD，BO⊂面ABC，面ABC∩面ACD=AC，
∴BO⊥面ACD，又∵OD⊂面ACD
∴BO⊥OD
由已知BO=(12)/(5)，
则VB−ACD＝(1)/(3)×(12)/(5)×6＝(24)/(5)．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，
∵EF∥AC，EF⊄面ACD，AC⊂面ACD，
∴EF∥面ACD，
又∵EG∥平面ACD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)=((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)=((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． (12)/(5)121212555，
则VB−ACD＝(1)/(3)×(12)/(5)×6＝(24)/(5)．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，
∵EF∥AC，EF⊄面ACD，AC⊂面ACD，
∴EF∥面ACD，
又∵EG∥平面ACD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)=((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)=((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． VB−ACD＝(1)/(3)×(12)/(5)×6＝(24)/(5)．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，
∵EF∥AC，EF⊄面ACD，AC⊂面ACD，
∴EF∥面ACD，
又∵EG∥平面ACD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)=((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)=((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． B−ACD＝(1)/(3)111333×(12)/(5)121212555×6＝(24)/(5)242424555．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，
∵EF∥AC，EF⊄面ACD，AC⊂面ACD，
∴EF∥面ACD，
又∵EG∥平面ACD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)=((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)=((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． (VB−EFG)/(VB−ACD)VB−EFGVB−EFGVB−EFGB−EFGVB−ACDVB−ACDVB−ACDB−ACD=((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)=((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． ((2)/(3)222333)3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)=((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． 3＝(8)/(27)888272727．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)=((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． (VC−EPQ)/(VC−BDA)VC−EPQVC−EPQVC−EPQC−EPQVC−BDAVC−BDAVC−BDAC−BDA=((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． ((1)/(3)111333)3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）． 3＝(1)/(27)111272727，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）．