一个圆内接的内接三角形,四面相等,圆半径为R,求三角形体积球体内接立体的三角形，4面相等

Question

一个圆内接的内接三角形,四面相等,圆半径为R,求三角形体积
球体内接立体的三角形，4面相等

Answer 1

将半径为 R 的球内放一个内接正方体,
设正方体的棱长为 a ,则显然正方体的体对角线就是球的直径
所以：R = √3/2 a
再在正方体中内接一个正四面体,
显然,正方体中内接的正四面体也是球的内接正四面体
则正四面体的棱长就为：
√2 a , 底面积:S = 1/2×sin60°×2a^2= √3 /2 a^2
在侧棱与高,与底面组成的直角三角形中,
高 H = √(2a^2 - 2/3 a^2) = 2√3/3 a
体积 V = 1/3 SH = 1/3× √3 /2 a^2 × 2√3/3 a = 1/3 a^3
又 R = √3 /2 a,a = 2√3/3 R
V = 1/3 a^3 = 8√3/27 R^3