HDOJ为什么跟卡特兰数有关呢?其实,我不知道那题如何转化为数学归纳的!

Question

HDOJ 为什么跟卡特兰数有关呢?
其实,我不知道那题如何转化为数学归纳的!

Answer 1

这是进出栈问题.
计算归纳后就得到卡特兰函数,解这个题目很方便.
递归来的：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ...+ h(n-1)h(0) (其中n>=2) 另类递归式：h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); 该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
对于每一个数来说,必须进栈一次、出栈一次.我们把进栈设为状态‘1’,出栈设为状态‘0’.n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数.由于等待入栈的操作数按照1¨n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b),因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数,1的累计数不小于0的累计数的方案种数.在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0.从中减去不符合要求（由左而右扫描,0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求.不符合要求的数的特征是由左而右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数,此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0.如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换,使之成为n-m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列.反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数,由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数.同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数.因而不合要求的2n位数与n＋1个0,n－1个1组成的排列一一对应.显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1).由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n).
有2n个人排成一行进入剧场.入场费5元.其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)