求幂级数∑n=1→∞(n-1)x^n的和函数为?我算的答案为：-x*ln(1-x),不知哪里出错,

Question

求幂级数∑n=1→∞ (n-1)x^n 的和函数为?我算的答案为：-x*ln(1-x),不知哪里出错,

Answer 1

∑ (n-1)x^n=x^2*∑ (n-1)x^(n-2)=x^2*∑ nx^(n-1)
n=1→∞ n=1→∞ n=0→∞
=x^2*∑ d(x^n)/dx=x^2*d[∑ (x^n)]/dx=x^2*d {lim[1*(1-x^n)/(1-x)]}/dx
n=0→∞ n=0→∞ n=0→∞
显然当且仅当|x|