已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和点B关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如果不

Question

已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和点B关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

存在，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把A、B、C坐标代入得：

a−b+c＝10

a+b+c＝4

4a+2b+c＝7

，
解得：

a＝2

b＝−3

c＝5

，
∴抛物线解析式为y=2x²-3x+5，对称轴为直线x=(3)/(4)，
∵点D与B关于对称轴对称，
∴D（(1)/(2)，4），
设过点D的直线为y=kx+m，把D坐标代入得：(1)/(2)k+m=4，即m=4-(1)/(2)k，
∴过D的解析式为y=kx+4-(1)/(2)k，
联立y=2x²-3x+5得：2x²-3x+5=kx+4-(1)/(2)k，
整理得：2x²-（3+k）x+(1)/(2)k+1=0，
令△=0，得：（3+k）²-8（(1)/(2)k+1）=0，
解得：k=-1，
则符合题意的解析式为y=-x+(9)/(2)．