请用不等式计算冠军足球队得分问题若干支足球队进行单循环赛,胜一场的3分,平一场的1分,负一场不得分.最终结果冠军队只有一个,但冠军队胜的场次比其他任何的球队都少,问最少要有几个

Question

请用不等式计算冠军足球队得分问题
若干支足球队进行单循环赛,胜一场的3分,平一场的1分,负一场不得分.最终结果冠军队只有一个,但冠军队胜的场次比其他任何的球队都少,问最少要有几个队参赛?冠军队至少的多少分.
希望一步一步解答，不要用"显然"这个词
不过希望找一个更好的，不是试出来的方法

Answer 1

这道题我看过
我懒得打
如果没人答的话,我可以帮你答
我先收藏一下
现在帮你回答
设共有n个球队参赛,得分最多的叫冠军队,另外n-1个队都叫普通队
根据条件,冠军队得分多,胜场少
设冠军队胜X场,平Y场,那么冠军队的得分是3X+Y
因为普通队胜场比冠军队多,所以普通队最少胜X+1场,因而至少得3(X+1)分
另外一方面冠军队得分比普通队多,所以
3X+Y>3(X+1)
由此得Y>3,即Y>=4
这就是说,冠军队至少有3场与普通队踢成平局
设B队与冠军队之间有场平局,那么B队通过这场平局可获得1分
但是B队属于普通队,根据前面的讨论,B队通过这场胜局至少得3（X+1）分,加上平局至少得1分,B队的分数至少是3X+4
冠军队的分数比B队多,所以
3X+Y>3X+4
由此得Y>4,即Y>=5
这样知道,冠军队至少有5场平局
最多有几场平局呢?n-1场,因为冠军队与n-1个普通队各战一场,全是平局
则冠军队得n-1分,普通队最多得n-2分,
设各队得分的总和为S,那么有
Sn(n-1)/2*2=n(n-1)>(n-1)^2 .(2)
(1)(2)两式矛盾,所以冠军队的分数一定大于n-1
所以冠军队至少赢过1场
冠军队至少有5场平局,1场胜局,因而至少与6个普通队交锋,参赛队伍至少有7支
当参赛队伍为7支时,冠军队一定是1胜5平,其他普通队为至少2胜,总的胜场次数为1+2*6=13
普通队的平局总和至少为5
因为总的胜场次数应该等于总的负场次数
所以总的负场次数为13
总的场数至少为13+10+13=46
而7支球队应该的比赛场数总和为6*7=42
两者矛盾
所以7支不行
当8支球队时,确实能存在这种情况
答案应该是8个球队,冠军队是11分
比赛情况是:
)A B C D E F G H 战绩 积分
A - 1 1 1 1 1 3 3 2胜5平0负 11
B 1 - 3 3 3 0 0 0 3胜1平3负 10
C 1 0 - 3 3 3 0 0 3胜1平3负 10
D 1 0 0 - 3 3 3 0 3胜1平3负 10
E 1 0 0 0 - 3 3 3 3胜1平3负 10
F 1 3 0 0 0 - 3 3 3胜1平3负 10
G 0 3 3 0 0 0 - 3 3胜0平4负 10
H 0 3 3 3 0 0 0 - 3胜0平4负 9