一道不等式数学题已知a,b,c≥0,求证：a√a+b√b+c√c≥a√b+b√c+c√a.

Question

一道不等式数学题
已知a,b,c≥0,求证：a√a + b√b + c√c≥a√b + b√c + c√a .

Answer 1

设√a=x,√b=y,√c=z
原式即可化为 x³+y³+z³≥x²y+y²z+z²x,且x≥0,y≥0,z≥0,
∵ x²-2xy+y²≥0
∴ x²-xy+y²≥xy
∵ x+y≥0
∴ (x+y)(x²-xy+y²)≥xy(x+y)
即 x³+y³≥x²y+xy²……①
同理可得,y³+z³≥y²z+yz²……②,x³+z³≥x²z+xz²……③
①,②,③式相加得
2(x³+y³+z³)≥x²y+xy²+y²z+yz²+x²z+xz²
即2(x³+y³+z³)≥(x²y+y²z+z²x)+ (x²z +y²x+z²y)
因为x²y+y²z+z²x与x²z +y²x+z²y等价
不妨设x²y+y²z+z²x≥x²z +y²x+z²y
∴2(x³+y³+z³)≥(x²y+y²z+z²x)+ (x²z +y²x+z²y)≥2(x²z +y²x+z²y)
即x³+y³+z³≥x²z +y²x+z²y
同样当x²y+y²z+z²x≤x²z +y²x+z²y时,
x³+y³+z³≥x²y+y²z+z²x
所以x³+y³+z³必大于x²y+y²z+z²x和x²z +y²x+z²y其中的一个
又因为x²y+y²z+z²x和x²z +y²x+z²y等价,都是关于x,y,z的三次三项轮换对称式（即齐次轮换式）,
所以 它们和x³+y³+z³的关系相同
所以x³+y³+z³≥x²y+y²z+z²x且x³+y³+z³≥x²z +y²x+z²y
再把√a=x,√b=y,√c=z代回
所以a√a+b√b+c√c≥a√b+b√c+c√a
原式得证