用二项式定理求解1.如果第一天为星期五,求第2^135天为星期几?用二项式定理求解2.求2008的2008次方除以9所得的余数?

Question

用二项式定理求解 1.如果第一天为星期五,求第2^135天为星期几?
用二项式定理求解
2.求2008的2008次方除以9所得的余数?

Answer 1

1、2^135=(1+1)^135=∑{135!/[k!(135-k)!]} (0≤k≤135).即把2^135二项展开.我们只需算出这个数除以7之后的约数就行了（一周有7天嘛,7为周期）.
注意到,7|133,则只要分子中把阶乘抵消化简后还存在133,那么就能被7整除.显然绝大部分项都能被7整除,只有当k≤2或者k≥133时无法整除,我们只需计算这部分的余数即可.
这部分数之和=(1+135+134*135/2)*2=18362,除以7的余数为1.
因为第1天是星期五,所以第2^135天即第18362天为5+(1-1)=5,还是星期五!
2、2008^2008=(1+2007)^2008=∑{2008!/[k!(2008-k)!]*2007^k} (0≤k≤2008).
注意到,9|2007,当k≥1时必有因数2007存在,所以必能被9整除.故我们只需要讨论k=0的情况!
当k=0时的二项展开部分为1,首项.所以,最终的余数即为1.