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已知正方体ABEF和ACGH在三角形BAC的外侧,点M是BC边的中点.求证FH等于2AM
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已知正方体ABEF和ACGH在三角形BAC的外侧,点M是BC边的中点.求证FH等于2AM
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答案和解析
证明：延长AM至D,使MD=AM,连接BD
因MB=MC,∠BMD=∠CMA
所以△BMD≌△CMA
所以BD=AC,
∠DBC=∠ACB,
又正方形AFEB和正方形ACGH
则AH=AC=BD,AF=AB,∠FAB=∠HAC=90°
所以,∠FAH+∠BAC=180°
又∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°
所以∠FAH=∠ACB+∠ABC
即∠FAH=∠DBC+∠ABC=∠ABC
所以△AFH≌△BAD
所以FH=AD
又AD=2AM
则FH=2AM
因MB=MC,∠BMD=∠CMA
所以△BMD≌△CMA
所以BD=AC,
∠DBC=∠ACB,
又正方形AFEB和正方形ACGH
则AH=AC=BD,AF=AB,∠FAB=∠HAC=90°
所以,∠FAH+∠BAC=180°
又∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°
所以∠FAH=∠ACB+∠ABC
即∠FAH=∠DBC+∠ABC=∠ABC
所以△AFH≌△BAD
所以FH=AD
又AD=2AM
则FH=2AM
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