RT△ABC中,∠A=90度,AD⊥BC,△ABE和△ACF都是等边三角形,若AD：BC=12：25,AB>AC,求S△DBE：S△DAF

Question

RT△ABC中,∠A=90度,AD⊥BC,△ABE和△ACF都是等边三角形,若AD：BC=12：25,AB>AC,求S△DBE：S△DAF

Answer 1

答案是16^2:9^2
为了讲清楚,步骤比较多,请耐心看完,主要的东西并不多,就是证明相似,再求相似比.
请适当参考,删减
（1）首先我们来证明△DBE∽△DAF
由已知条件很容易得到RT△ADB∽RT△CDA
那么有AB:AC=BD:AD,∠ABD=∠CAD
又因为△ABE和△ACF都是等边三角形,所以BE=AB,AF=AC,∠ABE=∠CAF=60°
所以BE:AF=BD:AD,∠DBE=∠ABD+∠ABE=∠CAD+∠CAF=∠DAF
于是△DBE∽△DAF
那么它们的相似比为BE:AF
（2）接下来求BE:AF
BE:AF=AB:AC
所以我们来求AB:AC
由（1）可知RT△ADB∽RT△CDA
那么就有AD:CD=BD:AD即BD*CD=AD^2=12^2①
又因为BD+CD=BC=25所以BD=25-CD②
将②代入①得到（25-CD）*CD=12^2 ③
解方程③得到CD=16或9
若CD=16,则BD=9
若CD=9,则BD=16
到底是哪种情况呢?
由题可知AB>AC那么AB:AC>1
再次利用RT△ADB∽RT△CDA
那么AD:CD=BD:AD=AB:AC>1④
AD>CD,BD>AD即BD>AD>AC
因此只能是BD=16,CD=9
代入④有AB:AC=BD:AD=16:9
BE:AF=16:9
相似三角形面积比为边长比的平方
S△DBE：S△DAF =16^2:9^2