设向量OM=M向量a,向量ON=N向量b,向量OP=α向量a+β向量b,且向量a与向量b不共线其中M、N、α、β为实数,且MN≠0,若M、P、N三点共线,求α/M+β/N的值

Question

设向量OM=M向量a,向量ON=N向量b,向量OP=α向量a+β向量b,且向量a与向量b不共线
其中M、N、α、β为实数,且MN≠0,若M、P、N三点共线,求α/M+β/N的值

Answer 1

m、n表示M、N,p、q表示α、β
MN=ON-OM=nb-ma,NP=OP-ON=pa+qb-nb=pa+(q-n)b
M、N、P三点共线,即：MN=kNP,即：nb-ma=k(pa+(q-n)b)
即：(m+kp)a+(kq-kn-n)b=0,a与b不共线,故：m+kp=0,kq-kn-n=0
即：k=-m/p,且：k=n/(q-n),故：-p/m=(q-n)/n=q/n-1,即：p/m+q/n=1
即：α/M+β/N=1