抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于C（0,-3）.在抛物线上求点Q的坐标,使三角形BCQ是以BC为直角边的直角三角形（直接写出所有满足条件的Q点坐标）麻烦用初三知识解答,

Question

抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于C（0,-3）.在抛物线上求点Q的坐标,使三角形BCQ是以BC为直角边的直角三角形（直接写出所有满足条件的Q点坐标）麻烦用初三知识解答,

Answer 1

抛物线y=x²-2x+k 与y轴交于C（0,-3）代入抛物线方程
-3 = 0² -2*0 +k
得 k=-3
y=x²-2x-3与x轴交的交点：
0 = x²-2x-3
即(x+1)(x-3)=0
x1= -1 ,x2= 3
得A(-1,0) B点(3,0)
下面需要用距离公式,勾股定理
BC² = (3-0)² +(0-(-3))² = 18
设Q点(m,n)
CQ² = (0-m)² + (-3-n)² = m² + (n+3)²
BQ² = (3-m)² +(0-n)² = (3-m)² + n²
分2种情况,BQ为斜边,CQ为直角边; 或BQ为直角边,CQ为斜边
1)
(3-m)² + n² = 18 + m² + (n+3)²
化简得
-6m = 18 +6n
n = -m-3
(m,n)又在抛物线上 所以
n = m² -2m -3
代入' -m-3 = m² -2m -3
m =0 或 1
n = -3 或 -4
(0,-3)与C重复,舍去,得Q(1,-4)
2)
(3-m)² + n² + 18 = m² + (n+3)²
化简得
-6m + 18 = 6n
n = -m +3
(m,n)又在抛物线上 所以
n = m² -2m -3
代入' -m+3 = m² -2m -3
m = -2 或3
n = 5 或0
(3,0)与B重复,舍去,得Q(-2,5)
所以Q为　(1,-4) 或　(-2,5)