已知函数f(x)=(3+x)/2,数列{An}满足关系式：An=f(An-1)（n≥2且n∈N）,且A1=19（1）求证：数列{An-3}是等比数列（2）求数列{An}的通项公式（3）设Bn=log2^(An-3),求数列{Bn}的前N项和Sn,并求Sn取得最大值时n

Question

已知函数f(x)=(3+x)/2,数列{An}满足关系式：An=f(An-1)（n≥2且n∈N）,且A1=19
（1）求证：数列{An-3}是等比数列
（2）求数列{An}的通项公式
（3）设Bn=log2^(An-3),求数列{Bn}的前N项和Sn,并求Sn取得最大值时n的取值.

Answer 1

(1)证明:
由于f(x)=(3+x)/2
又An=f(An-1)
则:An=[3+A(n-1)]/2
2An=3+A(n-1)
2An-6=A(n-1)-3
2(An-3)=[A(n-1)-3]
[An-3]/[A(n-1)-3]=1/2
则：数列{An-3}是等比数列
（2）由于数列{An-3}是等比数列
则：An-3=(A1-3)*(1/2)^(n-1)
=16*(1/2)^(n-1)
=2^4*2^(1-n)
=2^(5-n)
则：An=2^(5-n)+3
(3)Bn=log2(An-3)
=log2[2^(5-n)+3-3]
=log2[2^(5-n)]
=5-n
Sn=B1+B2+...+Bn
=4+3+2+...+(5-n)
=[n(4+5-n)]/2
=(-1/2)n^2+(9/2)n
则：当Bn=5-n>=0时,
Sn取得最大值
则：n