tan(π/7)*tan(2π/7)*(3π/7)=?最好用高中方法

Question

tan(π/7)*tan(2π/7)*(3π/7)=?
最好用高中方法

Answer 1

考虑单位根.xk=e^(2πki/7),k=0,1,...,6都满足方程x^7-1=0.所以他们构成了方程的所有根,所以有分解因式
x^7-1=(x-x0)(x-x1)...(x-x6)
其中x0=1,所以两边约去x-1这个因式(x-x1)(x-x2)...(x-x6)=x^6+x^5+...+x+1
分别令x=1、-1,得
(1-x1)(1-x2)...(1-x6)=7
(-1-x1)(-1-x2)...(-1-x6)=1
两式相除,注意到(1-xk)/(-1-xk)=(e^(πki/7)-e^(-πki/7))/(e^(πki/7)+e^(-πki/7))=j*tan(kπ/7)
那么就有j^6*tan(π/7)tan(2π/7)tan(3π/7)tan(4π/7)tan(5π/7)tan(6π/7)=7
再注意到tan(π-a)=-tana,上式就表明(tan(π/7)tan(2π/7)tan(3π/7))^2=7
而显然tan(π/7)tan(2π/7)tan(3π/7)>0.所以tan(π/7)tan(2π/7)tan(3π/7)=根号7
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老兄,这就是高中方法啊