已知幂函数f(x)=x^(-0.5p^2+p+1.5),(p∈Z）在其定义域内是偶函数,且在（0,+∞）上是增函数.（1）求p的值,并写出相应的函数解析式；（2）设函数g(x)=-qf(x^2)+(2q-1)f(x)+1,是否存在实数q(q

Question

已知幂函数f(x)=x^(-0.5p^2+p+1.5) ,(p∈Z）在其定义域内是偶函数,且在（0,+∞）上是增函数.
（1）求p的值,并写出相应的函数解析式；
（2）设函数g(x)=-qf(x^2)+(2q-1)f(x)+1,是否存在实数q(q

Answer 1

（1）根据提议可断定,指数部分大于0
因此解不等式-0.5p^2+p+1.5〉0得-1

当p=1时,指数部分=2,符合题意.
此时f(x)=x^2
(2)g(x)=qx^4+2(q-1)X^2+1为偶函数,图像关于y轴对称.
若g(x)在区间(-∞,-4)上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数,则g(x)在区间(4,+∞)上是增函数,且在区间(0,4)上是减函数.
令y=x^2,则g(x)=qy^2+2(q-1)y+1.图像关于y=16（此时x=+-4）对称,即
-2(q-1)/(2q)=16
解得q=1/17.