已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn，a2(a-1)an，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令bn=（an+1）lg（an+1）．（1）求数列{an}的通项公式an（用a，n表示）（2）当a=89时，数列{bn}是否存在

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n，(a)/(2(a-1))an，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a，n表示）
（2）当a=(8)/(9)时，数列{b_n}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；
（3）若{b_n}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意(a)/(a-1)an=Sn+n①
∴(a)/(a-1)an+1=Sn+1+n+1②
②-①得(1)/(a-1)an+1=(a)/(a-1)an+1，
即a_n+1+1=a（a_n+1），{a_n+1}是以a为公比的等比数列．∴a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由(a)/(a-1)a1=a1+1⇒a₁=a-1∴a_n=aⁿ-1
（2）a=(8)/(9)时，bn=n((8)/(9))nlg(8)/(9)，bn+1-bn=(8-n)/(9)•((8)/(9))n•lg(8)/(9)
当n＜8时，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n，∴b₁＞b₂＞＞b₈
当n=8时，b_n+1-b_n=0即b_n+1=b&_n，b₈=b₉
当n＞8时，b_n+1-b_n＞0即b_n+1＞b_n∴b₉＜b₁₀＜
存在最小项且第8项和第9项最小
（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0
当a＞1时，得（n+1）a-n＞0，即a＞(n)/(n+1)，显然恒成立，∴a＞1
当0＜a＜1时，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即a＜(n)/(n+1)，∴a＜(1)/(2)，∴0＜a＜(1)/(2)
综上，a的取值范围为(0，(1)/(2))∪(1，+∞)．