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双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离比为定值能不能证明
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答案和解析
可以证明的,实际上这个就是双曲线的定义
也可以这样
方程x²/a²-y²/b²=1
左焦点F(-c,0),左准线x=-c/a²
设任意点为P (x,y)
FP²=(x+c)²+y²
=(x+c)²+(x²/a²-1)b²
=[a²(x+c)²+b²x²-a²b²]/a²
=(a²x²+b²x²+2a²cx+a²c²-a²b²)/a²
=(c²x²+2a²cx+a²*a²)/a²
=[(cx+a²)/a]²
所以 |PF|=|cx+a²|/a=|x+c/a²|/(a/c)
P到左准线的距离为|x+c/a²|
所以 点到左焦点的距离与到左准线的距离比为c/a=e是个常理
也可以这样
方程x²/a²-y²/b²=1
左焦点F(-c,0),左准线x=-c/a²
设任意点为P (x,y)
FP²=(x+c)²+y²
=(x+c)²+(x²/a²-1)b²
=[a²(x+c)²+b²x²-a²b²]/a²
=(a²x²+b²x²+2a²cx+a²c²-a²b²)/a²
=(c²x²+2a²cx+a²*a²)/a²
=[(cx+a²)/a]²
所以 |PF|=|cx+a²|/a=|x+c/a²|/(a/c)
P到左准线的距离为|x+c/a²|
所以 点到左焦点的距离与到左准线的距离比为c/a=e是个常理
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