已知曲线C1:y=x^2曲线C2:y^2/a^2+x^2=1(其焦距不小于4）直线l与C1C2均相切切点分别为A,B（AB均在y轴右侧）直线l与x轴交于点P则：向量OA*向量OP+(向量OB*向量OP）/|OP|的最小值

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,则c>=2,
y1=x1^,y2^/a^+x2^=1(a^=1+c^>=5),①
AB的方程是y-x1^=2x1(x-x1),即y-2x1x=-x1^,与y2y/a^+x2x=1,
比较得1/（y2/a^)=-2x1/x2=-x1^,
∴x2=2/x1,y2=-a^/x1^,
代入①,a^/x1^4+4/x1^=1,即y1^-4y1-a^=0,y1=2+√（4+a^),x1=√[2+√（4+a^)]>=√5,
直线l与x轴交于点P(x1/2,0),
向量OA*OP=x1^/2,OB*OP=1,
∴原式=x1^/2+2/x1,记为f(x1),
f'(x1)=x1-2/x1^=(x1^3-2)/x1^>0,
∴f(x1)>=f(√5)=5/2+2/√5,
,∴原式的最小值=5/2+2√5/5..