矩阵A为4阶方阵,R(A)=3,A^2+A=O,求|A+2E|如题

Question

矩阵A为4阶方阵,R(A)=3,A^2+A=O,求|A+2E|
如题

Answer 1

因为A^2+A=0矩阵
所以特征值满足
λ^2+λ=0
λ(λ+1)=0
λ=0,-1
但是因为
R(A)=3
所以特征值只可能是0,-1,-1,-1
其次因为A^2+A=0矩阵,所以若当标准型是对角阵,不然不可能会是0矩阵,右上角会多出非零的部分
所以存在正交阵P,|P|=|P'|=1
使得
P'AP=对角阵(0,-1,-1,-1)
所以
|A+2E|
=|P'||A+2E||P|
=|P'(A+2E)P|
=|对角阵(0,-1,-1,-1)+2E|
=|对角阵(2,1,1,1)|
=2*1*1*1
=2