已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若|MF|=1，且双曲线C的离心率e＝62．（1）求双曲线C的方程；（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交

Question

已知双曲线C：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若|MF|=1，且双曲线C的离心率e＝(√(6))/(2)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若

AP

＝λ

AQ

且λ≥(1)/(3)，求直线l斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）由对称性，不妨设M是右准线x＝(a2)/(c)与一渐近线y＝(b)/(a)x的交点，
其坐标为M（(a2)/(c)，(ab)/(c)），∵|MF|=1，∴(b4)/(c2)+(a2b2)/(c2)＝1，
又e＝(c)/(a)＝(√(6))/(2)∴(b)/(a)＝√(e2−1)＝(√(2))/(2)，c2＝a2+b2＝(3)/(2)a2，
解得a²=2，b²=1，所以双曲线C的方程是(x2)/(2)−y2＝1；（6分）
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y＝kx+1

x2−2y2＝2

得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，
∴

△＝16k2+16(1−2k2)＞0

x1+x2＝(−4k)/(2k2−1)＞0

x1x2＝(4)/(2k2−1)＞0

1−2k2≠0

∴(1)/(2)＜k2＜1且k＜0①（9分）
又∵

AP

＝λ

AQ

且P在A、Q之间，λ≥(1)/(3)，∴x₁=λx₂且(1)/(3)≤λ＜1，
∴

(1+λ)x2＝(−4k)/(2k2−1)

λ

x

2 2

＝(4)/(2k2−1)

∴((1+λ)2)/(λ)＝(4k2)/(2k2−1)＝2+(2)/(2k2−1)，
∵f(λ)＝((1+λ)2)/(λ)=λ+(1)/(λ)+2在[(1)/(3)，1)上是减函数（∵f′（λ）＜0），
∴4＜f(λ)≤(16)/(3)，
∴4＜2+(2)/(2k2−1)≤(16)/(3)，由于k2＞(1)/(2)，∴(4)/(5)≤k2＜1②（12分）
由①②可得：−1＜k≤−(2√(5))/(5)，（13分）
即直线l斜率取值范围为(−1，−(2√(5))/(5)]（14分）