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动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)过点Q(0,-1)作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C所围成区
题目详情
动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点Q(0,-1)作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C所围成区域的面积.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点Q(0,-1)作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C所围成区域的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)设P(x,y),根据题意,得
+3-y=4,化简,得点P的轨迹C的方程y=
x2(y≤3).(4分)
(2)设过Q的直线方程为y=kx-1,代入抛物线方程,整理得x2-4kx+4=0.
由△=16k2-16=0.解得k=±1.
于是所求切线方程为y=±x-1.
切点的坐标为(2,1),(-2,1).
由对称性知所求的区域的面积为S=2
[
x2−(x−1)]dx=
.(10分)
x2+(y−1)2 |
1 |
4 |
(2)设过Q的直线方程为y=kx-1,代入抛物线方程,整理得x2-4kx+4=0.
由△=16k2-16=0.解得k=±1.
于是所求切线方程为y=±x-1.
切点的坐标为(2,1),(-2,1).
由对称性知所求的区域的面积为S=2
∫ | 2 0 |
1 |
4 |
3 |
4 |
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