利用数学归纳法求证以下命题对于所有正整数n都成立1/2+3/4+5/8+...+(2n-1)/2^n=3-(2n+3)/2^n

Question

利用数学归纳法求证以下命题对于所有正整数n都成立
1/2 + 3/4 +5/8 +...+(2n-1)/2^n = 3 - (2n+3)/2^n

Answer 1

n=1时,等式左边=1,等式右边=3 - (2+3)/2=1/2,等式成立
假设当n=k时成立,1/2 + 3/4 +5/8 +...+(2k-1)/2^k = 3 - (2k+3)/2^k
则当n=k+1时,等式左边=1/2 + 3/4 +5/8 +...+(2k-1)/2^k+(2k+1)/2^（k+1）
=3-(2k+3)/2^k+(2k+1)/2^（k+1）
=【-（4k+6）+(2k+1)】/2^（k+1）
=3-（2k+5）/2^（k+1）
=3-【2（k+1）+3】/2^（k+1）
等式成立,得证