初中相似三角形简单题!急满意答案加高分!如图,△ABC中,∠ACB=Rt∠,BC=3,AC=4,PQ‖AB,点P在AC上（与A,C不重合）,Q在BC上（1）,当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长（2）,试问：在AB上

Question

初中相似三角形简单题!急满意答案加高分!
如图,△ABC中,∠ACB=Rt∠,BC=3,AC=4,PQ‖AB,点P在AC上（与A,C不重合）,Q在BC上
（1）,当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长
（2）, 试问：在AB上是否有一点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请说明理由；若存在,请求出PQ的长

Answer 1

(1)因为 △ABC中,∠ACB=Rt∠,BC=3,AC=4,
所以 BC：AC:AB=3:4:5
因为 PQ‖AB,所以 △ABC相似于△PQC,
所以 QC:PC:PQ=3:4:5,设QC=3k,则PC=4k,PQ=5k
所以 AP=4-4k,BQ=3-3k
因为 △PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
所以 3k+4k+5k=5+4-4k+5k+3-3k
所以 k=6/7,PC=24/7
(2)存在
过C作CE垂直AB于E,交PQ于F,则CF垂直PQ,
由面积法可求CE=2.4,CF=2.4k,EF=2.4-2.4k
若∠MPQ=∠MQP=Rt∠,△PQM为等腰直角三角形,则PM=PQ,或PQ=MQ
此时可证EF=PM,或EF=QM
由（1）问所设,PQ=5k,则2.4-2.4k=5k
k=12/37,PQ=60/37
若∠PMQ=Rt∠,△PQM为等腰直角三角形,则可证 EF=PQ/2
所以 2.4-2.4k=2.5k,
k=24/49,PQ=120/49