已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直.求证圆心到一边的距离等于这条边所对边的边长的一半.用解析几何做.

Question

已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直.求证圆心到一边的距离等于这条边所对边的边长的一半.用解析几何做.

Answer 1

要解析法的话,如下：
在直角坐标系取一点K(m,n),以r为半径作圆（r^2>m^2+n^2）,交坐标轴于ABCD四点,则AC⊥BD.
圆方程为：(x-m)^2+(y-n)^2=r^2
y轴截距：y=n±√(r^2-m^2)
x轴截距：x=m±√(r^2-n^2)
取2截距点：x=m+√(r^2-n^2),y=n+√(r^2-m^2)为AB点
AB^2=(m+√(r^2-n^2))^2+(n+√(r^2-m^2))^2
CD点为x=m-√(r^2-n^2),y=n-√(r^2-m^2)
CD中点E坐标为(m-√(r^2-n^2))/2,(n-√(r^2-m^2))/2
圆心K到中点距离h^2=(m-xe)^2+(n-ye)^2
=(m+√(r^2-n^2))^2/4+(n+√(r^2-m^2))/4
所以h^2=AB^2/4
所以h=AB/2
故得证.