对称式和轮换式大神们帮帮忙怎样在能辨别出是轮换式和对称式式?请各位给出点方法去解这类因式分解的题目.

Question

对称式和轮换式大神们帮帮忙
怎样在能辨别出是轮换式和对称式式?请各位给出点方法去解这类因式分解的题目.

Answer 1

首先要说明的时,轮换式完整的叫法是轮换对称式.因为几何上对称除了轴对称之外,还有中心对称、旋转对称等,相应地,在代数里对称也有较多的对称.这与我们日常语言中的概念是有区别的. 下面指出轮换式和对称式的区别：对称式交换任意两个变量的值,结果不变,如x+y+z； 轮换对称式一定要轮换,例如x->y,y->z,z->x才能使结果不变,如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y,光换两个不行. 第二个问题是分解因式的应用,现举实例如下： ①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 ②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3 ③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz (1) 分析: 将原式看成X的多项式,可知 当X=－Y时, 原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5 =0 所以原式有因式(X＋Y),因为是对称式,所以原式还有因式(Y＋Z),(Z＋X) 设原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)] 令X=1,Y=1,Z=0,代入得 30=2(2K＋T); 令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T) 解得K=5,T=5 所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX) (2) 分析 设原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3] 然后利用立方差和立方和公式展开,并令整理后的式子 =(2A＋B＋C)(M－N) 其中由轮换多项式可确定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C) 比较系数的原式=3(2A＋B＋C) (A＋2B＋C)(A＋B＋2C) (3)分析 设X=Y＋Z,则有 原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ =(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0 所以原式有因式(Y＋Z－X),因为对称式,故也有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z) 设原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y) 其中K为待定系数,比较等式两边XYZ项的系数 右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K ,左=－2 所以解得K=1 所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y) 对称与轮换对称很重要,以后一直到大学都很有用.