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一个反比例函数的图象经过点A(1,3),O是原点.(1)点B是反比例函数图象上一点,过点B作BC⊥x轴于C,作BD⊥y轴于D,四边形OCBD的周长为8,求OB长.(2)作直线OA交反比例函数图象于

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一个反比例函数的图象经过点A(1,3),O是原点.
(1)点B是反比例函数图象上一点,过点B作BC⊥x轴于C,作BD⊥y轴于D,四边形OCBD的周长为8,求OB长.
(2)作直线OA交反比例函数图象于点A′,在反比例函数图象上是否存在点P(记横坐标为m)使得△APA′面积为2m?若存在,求P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)设反比例函数的解析式是:y=
k
x
,把A的坐标代入得:k=3,
则函数的解析式是:y=
3
x

设B的坐标是(a,b),则ab=3,
∵四边形OCBD的周长为8,
∴|a|+|b|=4,
∴OB=
|a | 2 +|b | 2
=
(|a|+|b| ) 2 -2|a||b|
=
16-2×3
=
10


(2)作直线OA交反比例函数图象于点A′,则A′的坐标是(-1,-3),
AA’所在直线方程为y=3x,
AA’=2
10
,P坐标为(m,
3
m

点P到直线 AA’的距离d=
|3m-
3
m
|
1+ 3 2
=
|3m-
3
m
|
10

面积S=
1
2
×2
10
|3m-
3
m
|
10
=|3m-
3
m
|=2m,
①3m-
3
m
>0时,m∈(-1,0)∪(1,+∞)
3m-
3
m
=2m,解得m=
3
或-
3
(-
3
不合题意,舍去);
②3m-
3
m
<0时,m∈(-∞,-1)∪(0,1)
3m-
3
m
=-2m 解得m=
15
5
或-
15
5
(-
15
5
不合题意,舍去).
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