一个反比例函数的图象经过点A（1，3），O是原点．（1）点B是反比例函数图象上一点，过点B作BC⊥x轴于C，作BD⊥y轴于D，四边形OCBD的周长为8，求OB长．（2）作直线OA交反比例函数图象于

Question

一个反比例函数的图象经过点A（1，3），O是原点．
（1）点B是反比例函数图象上一点，过点B作BC⊥x轴于C，作BD⊥y轴于D，四边形OCBD的周长为8，求OB长．
（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，在反比例函数图象上是否存在点P（记横坐标为m）使得△APA′面积为2m？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设反比例函数的解析式是：y= (k)/(x) ，把A的坐标代入得：k=3，
则函数的解析式是：y= (3)/(x) ；
设B的坐标是（a，b），则ab=3，
∵四边形OCBD的周长为8，
∴|a|+|b|=4，
∴OB=

|a | 2 +|b | 2

=

(|a|+|b| ) 2 -2|a||b|

=

16-2×3

=

10

；

（2）作直线OA交反比例函数图象于点A′，则A′的坐标是（-1，-3），
AA’所在直线方程为y=3x，
AA’=2

10

，P坐标为（m， (3)/(m) ）
点P到直线 AA’的距离d= (|3m-(3)/(m)|)/(1+ 32) = (|3m-(3)/(m)|)/(10)
面积S= (1)/(2) ×2

10

• (|3m-(3)/(m)|)/(10) =|3m- (3)/(m) |=2m，
①3m- (3)/(m) ＞0时，m∈（-1，0）∪（1，+∞）
3m- (3)/(m) =2m，解得m=

3

或-

3

（-

3

不合题意，舍去）；
②3m- (3)/(m) ＜0时，m∈（-∞，-1）∪（0，1）
3m- (3)/(m) =-2m 解得m= (15)/(5) 或- (15)/(5) （- (15)/(5) 不合题意，舍去）．