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如图,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.
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如图,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.


▼优质解答
答案和解析
HE=HF.
理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形,
∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°,
又∵AG⊥BC,
∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,
∴△ABG∽△EAP,
∴AG:EP=AB:EA.
同理△ACG∽△FAQ,
∴AG:FQ=AC:FA.
∵AB=k•AE,AC=k•AF,
∴AB:EA=AC:FA=k,
∴AG:EP=AG:FQ.
∴EP=FQ.
在Rt△EPH和Rt△FQH中,
,
∴Rt△EPH≌Rt△FQH(AAS).
∴HE=HF.

∵四边形ABME是矩形,
∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°,
又∵AG⊥BC,
∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,
∴△ABG∽△EAP,
∴AG:EP=AB:EA.
同理△ACG∽△FAQ,
∴AG:FQ=AC:FA.
∵AB=k•AE,AC=k•AF,
∴AB:EA=AC:FA=k,
∴AG:EP=AG:FQ.
∴EP=FQ.
在Rt△EPH和Rt△FQH中,
|
∴Rt△EPH≌Rt△FQH(AAS).
∴HE=HF.
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