设方程①x^2＋ax＋bc＝0与方程②x^2＋bx＋ac＝0有且只有一个公共根设方程①x2＋ax＋bc＝0与方程②x2＋bx＋ac＝0有且只有一个公共根,求证：其余两根是方程③x^2＋cx＋ab＝0的两根.速度解答.

Question

设方程①x^2＋ax＋bc＝0与方程②x^2＋bx＋ac＝0有且只有一个公共根
设方程①x2＋ax＋bc＝0与方程②x2＋bx＋ac＝0有且只有一个公共根,求证：其余两根是方程③x^2＋cx＋ab＝0的两根.
速度解答.

Answer 1

x^2＋ax＋bc＝0.①
x^2＋bx＋ac＝0.②
设相同的跟是p,方程①的另一根是m,方程②的另一根是n
则p²+ap+bc=0
p²+bp+ac=0
相减
ap+bc-bp-ac=0
p(a-b)=(a-b)c
(p-c)(a-b)=0
若a-b=0
则a=b
此时两个方程是同一个方程,则有两个相同的解,不合题意
所以a-b≠0
所以p=c
代入方程①根据韦达定理得
c²+ac+bc=0
c²+ac+bc=0
a+b+c=0
即a=-(b+c),b=-(a+c),c=-(a+b)
x2＋ax＋bc＝0
x2-(b+c)x＋bc＝0
(x-b)(x-c)=0
所以m=b
代入方程②根据韦达定理得
x^2＋bx＋ac＝0
x^2-(a+c)x＋ac＝0
(x-a)(x-c)=0
所以n=a
方程③x^2＋cx＋ab＝0
x^2-(a+b)x＋ab＝0
m+n=a+b
mn=ab
所以其余两根是方程③x^2＋cx＋ab＝0的两根.