若x、y均正,则[x+√(2xy)]/(2x+y)的最大值为答案是1/√5-1

Question

若x、y均正,则[x+√(2xy)]/(2x+y) 的最大值为
答案是1/√5-1

Answer 1

分子分母同时除以y得:[(x/y)+√(2x/y)]/[(2x/y)+1].令a＝x/y,a∈（0,+∞）
即求[a²+(√2)*a]/(2a²+1)最大值
[a²+(√2)*a]/(2a²+1)=0.5+ [(√2)*a-0.5]/(2a²+1).令(√2)*a-0.5＝t,t∈（0,+∞）
即求0.5+（t/t²+t+1.25）＝0.5+{1/[t+(1.25/t)+1]}最大值
t+(1.25/t)>=2√(5/4)=√5
所以0.5+{1/[t+(1.25/t)+1]}最大值=0.5+[1/(1+√5)]=1/(√5-1)