如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B′DEC′，B′C′与AB、AC分别交于点M、N．（1）证明：△ADE∽△ABC；（2）设AD为x

Question

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B′DEC′，B′C′与AB、AC分别交于点M、N．

（1）证明：△ADE∽△ABC；
（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式．当x为何值时y有最大值？

Answer 1

（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．
∴△ADE∽△ABC．   （2分）
（2）∵S_△ABC=24，△ADE∽△ABC，相似比为(x)/(6)，
∴(S△ADE)/(S△ABC)＝((x)/(6))2，所以S△ADE＝(2)/(3)x2．    （4分）
∵∠1=∠2，∠1=∠B'MD，∠2=∠B'，
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD．
又B'D=BD，∴MD=BD．
∴AM=AB-MB=6-2（6-x）=2x-6．    （6分）
同理，△AMN∽△ABC，S△AMN＝(8)/(3)(x−3)2
∴y＝S△ADE−S△AMN＝(2)/(3)x2−(8)/(3)(x−3)2＝−2x2+16x−24． （8分）
配方得y=-2（x-4）²+8
∴当x=4时，y有最大值．   （10分）