高中函数题一道f(x)是定义在R上的奇函数,且图像关于x=1/2对称.求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=?

Question

高中函数题一道
f(x)是定义在R上的奇函数,且图像关于x=1/2对称.求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=?

Answer 1

因为y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称,所以所以f(x+1/2)=f(1/2-x)
又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1/2-x)=-f(x-1/2)
即 f(x+1/2)=-f(x-1/2)
令x+1/2=t,即x=t-1/2,得
f(t)=-f(t-1)=f(1-t)
所以
f(3)=-f(2),f(5)=-f(4),f(1)=-f(0)
所以f(3)+f(2)=0,f(5)+f(4)=0
且f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0=f(1)
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0