曲线y=2x4上的点到直线y=-x-1的距离的最小值为（）A.2B.22C.23D.5216

Question

曲线y=2x⁴上的点到直线y=-x-1的距离的最小值为（　　）
A. √(2)
B. (√(2))/(2)
C. (√(2))/(3)
D. (5√(2))/(16)

Answer 1

曲线y=2x⁴上一点到直线y=-x-1的距离的最小值可转化为曲线与直线平行的切线和直线的距离
y′=8x³
令8x³=-1，解得x=-(1)/(2)．
∴y=2×(−(1)/(2))4=(1)/(8)．
∴切点A（-(1)/(2)，(1)/(8)）．y−(1)/(8)＝−(x+(1)/(2))．
即x+y+(3)/(8)=0．
又y=-x-1即为x+y+1=0，
∴最小距离为d=(1−(3)/(8))/(√(2))=(5√(2))/(16)．
∴曲线y=2x⁴上的点到直线y=-x-1的距离的最小值为(5√(2))/(16)．
故选：D．