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求y''+y=xsinx的通解希望给出详细过程.
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求y''+y=xsinx的通解希望给出详细过程.
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答案和解析
∵齐次方程y"+y=0的特征方程是r^2+1=0,则r=±i（复数根）
∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=(Ax^2+Bx)cosx+(Cx^2+Dx)sinx
代入原方程,化简得
(2A+2D+4Cx)cosx+(2B+2C-4Ax)sinx=xsinx
==>2A+2D=0,4C=0,2B+2C=0,-4A=1
==>A=-1/4,B=C=0,D=1/4
∴y=x(sinx-xcosx)/4是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+x(sinx-xcosx)/4.
∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=(Ax^2+Bx)cosx+(Cx^2+Dx)sinx
代入原方程,化简得
(2A+2D+4Cx)cosx+(2B+2C-4Ax)sinx=xsinx
==>2A+2D=0,4C=0,2B+2C=0,-4A=1
==>A=-1/4,B=C=0,D=1/4
∴y=x(sinx-xcosx)/4是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+x(sinx-xcosx)/4.
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