已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围．

Question

已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

（1）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=(1)/(2)．
∵B∈（0，π）
∴B=(π)/(3)．
（2）sinA+sinC=sinA+sin（(2π)/(3)−A）
=(3)/(2)sinA+(√(3))/(2)cosA
=√(3)sin(A+(π)/(6))
∵A∈(0，(2π)/(3))，
∴(π)/(6)＜A+(π)/(6)＜ (5π)/(6)
∴(1)/(2)＜sin(A+(π)/(6))≤1
所以sinA+sinC的取值范围((√(3))/(2)，√(3)]