（2010•连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为3434，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观

Question

（2010•连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A₁、B₁，则四边形A₁ABB₁的面积为

(3)/(4)

(3)/(4)

，再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂，A₂C、B₂C的中点A₃、B₃，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出(3)/(4)+(3)/(42)+(3)/(43)+…+(3)/(4n)=

1-(1)/(4n)

1-(1)/(4n)

．

Answer 1

∵A₁、B₁分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A₁B₁C的面积为1×(1)/(4)．
∴四边形A₁ABB₁的面积=△ABC的面积-△A₁B₁C的面积=(3)/(4)=1-(1)/(4)；
∴四边形A₂A₁B₁B₂的面积=△A₁B₁C的面积-△A₂B₂C的面积=(1)/(4)-(1)/(42)=(3)/(42)．
…，
∴第n个四边形的面积=(1)/(4n−1)−(1)/(4n)=(3)/(4n)．
故(3)/(4)+(3)/(42)+(3)/(43)+…+(3)/(4n)=（1-(1)/(4)）+（(1)/(4)-(1)/(42)）+…+（(1)/(4n−1)−(1)/(4n)）=1-(1)/(4n)．
故答案为：(3)/(4)，1-(1)/(4n)．