把长为l的铁丝剪成两段,一段围成圆,一段围成正方形,应该怎么剪才能使圆和正方形面积之和最小?求答案

Question

把长为l的铁丝剪成两段,一段围成圆,一段围成正方形,应该怎么剪才能使圆和正方形面积之和最小?求答案

Answer 1

设正方形的边长为a,则圆形的周长为L-4a
正方型面积为a05
圆形面积为π((L-4a)/(2π))05=(L-4a)05/(4π)=(16a05-8aL+L05)/(4π)=(4/π)a05-(2L/π)a+L05/(4π)
面积之和为(4/π+1)a05-(2L/π)a+L05/(4π)
对称轴处函数值最小,对称轴为a=(2L/π)/(2(4/π+1))=(2L)/(2(4+π))=L/(4+π)
∴剪出一段长为4L/(4+π)的铁丝围成正方形,其余围成圆,面积之和最小.