复变函数一道若u(x,y)与v(x,y)分别是解析函数f(z)的实部与虚部,且f(z)求导不等于0,试证明u(x,y)=c1与v(x,y)=c2互为垂直（C1,C2为实数）

Question

复变函数一道
若u(x,y)与v(x,y)分别是解析函数f(z)的实部与虚部,且f(z)求导不等于0,试证明u(x,y)=c1与v(x,y)=c2互为垂直（C1,C2为实数）

Answer 1

证明：因为f(z)解析,所以f'(z)=du/dx+idv/dx且du/dx和dv/dx不同时为0
由隐函数求导法曲线u(x,y)=c1的斜率
k1=-(du/dx)/(du/dy)
同理导法曲线u(x,y)=c1的斜率
k2=-(dv/dx)/(dv/dy)
若du/dx和dv/dx都不为0,根据C-R方程du/dx=dv/dy,du/dy=-dv/dx
所以k1*k2=-1
若du/dx和dv/dx一个为0,一个不为0,不防设du/dx=0,则k1=0,k2=∞,则两曲线也垂直
综上两者必垂直.
证毕!