已知三角形的顶点是A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3)求三角形面积

Question

已知三角形的顶点是A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3) 求三角形面积

Answer 1

方法一：
由两点间的距离公式,有：
｜AB｜＝√［（1－3）^2＋（－1－3）^2＋（2－1）^2］＝√（4＋16＋1）＝√21.
｜AC｜＝√［（1－3）^2＋（－1－1）^2＋（2－3）^2］＝√（4＋4＋1）＝3.
｜BC｜＝√［（3－3）^2＋（3－1）^2＋（1－3）^2］＝√（0＋4＋4）＝2√2.
由余弦定理,有：
cosA＝（｜AB｜^2＋｜AC｜^2－｜BC｜^2）/（2｜AB｜｜AC｜）
＝（21＋9－8）/（2×√21×3）＝22/（6√21）＝11/（3√21）,
∴sinA＝√［1－（cosA）^2］＝√［1－121/（9×21）］＝√［68/（9×21）］＝2√17/（3√21）.
∴△ABC的面积＝（1/2）｜AB｜｜AC｜sinA＝（1/2）×√21×3×2√17/（3√21）＝√17.
方法二：
∵A、B、C的坐标依次是（1,－1,2）、（3,3,1）、（3,1,3）,
∴向量AB＝（2,4,－1）、向量AC＝（2,2,1）.
∴向量AB·向量AC＝2×2＋4×2＋（－1）×1＝11.
且｜向量AB｜＝√（4＋16＋1）＝√21、｜向量AC｜＝√（4＋4＋1）＝3.
∴cosA＝向量AB·向量AC/（｜向量AB｜｜向量AC｜）＝11/（3√21）.
∴sinA＝√［1－（cosA）^2］＝√［1－121/（9×21）］＝√［68/（9×21）］＝2√17/（3√21）.
∴△ABC的面积＝（1/2）｜向量AB｜｜向量AC｜sinA
＝（1/2）×√21×3×2√17/（3√21）＝√17.