设a,b,c∈R,且c≠0,证明：（a+b）^2

Question

设a,b,c∈R,且c≠0,证明：（a+b）^2

Answer 1

(1)(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
右边展开
a^2+b^2+b^2/c^2+a^2c^2
即要证明2ab<=b^2/c^2+a^2c^2
利用均值不等式有b^2/c^2+a^2c^2>=2ab当且仅当b/c=ac 即b/a=c^2时
等号成立
(2)将等式平方有
||a|-|b||^2=|a^2+b^2-2|a||b|
|a+b|^2=a^2+b^2+2ab
当a或者b<0的时候2ab=-2|a||b|当a或者b等于0的时候也一样.当a或者b同号时,-2|a||b|<2ab 所以||a|-|b||<=|a+b|
|a+b|=-a-b或者a-b 或者b-a 或者a+b
假设-a-b最大,则a<0,b<0 |a|+|b|=|-a-b|(1)
假设a-b最大,则a>0,b<0 |a|+|b|=|a-b|(2)
假设b-a最大,则a<0,b>0,|a|+|b|=|b-a|(3)
假设a+b最大,则a>0,b>0,|a|+|b|=|a+b|(4)
(1)(4)都是|a|+|b|=|a+b|的情况
(2)中|a+b|在b<=0的时候|a+b|<=|a-b| 所以有|a|+|b|>=|a+b|
(3)中|b-a|在a<=0的时候|a+b|<=|b-a| 所以有|a|+|b|>=|a+b|