已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1=a（x-k）2+2（k＞0），y1+y2=x2+6x+12；当x=k时，y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=-1．（1）求k的值；（2）求函数y1，y2的表达式；（3）在同一直角坐

Question

已知两个关于x的二次函数y₁与y₂，y₁=a（x-k）²+2（k＞0），y₁+y₂=x²+6x+12；当x=k时，y₂=17；且二次函数y₂的图象的对称轴是直线x=-1．
（1）求k的值；
（2）求函数y₁，y₂的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数y₁的图象与y₂的图象是否有交点？请说明理由．

Answer 1

（1）由y₁=a（x-k）²+2，y₁+y₂=x²+6x+12，
∴y₂=（y₁+y₂）-y₁，
=x²+6x+12-a（x-k）²-2，
=x²+6x+10-a（x-k）²，
又∵当x=k时，y₂=17，
即k²+6k+10=17，
∴k₁=1，或k₂=-7（舍去），
故k的值为1；
（2）由k=1，得y₂=x²+6x+12-a（x-1）²-2=（1-a）x²+（2a+6）x+10-a，
∴函数y₂的图象的对称轴为x=-(2a+6)/(2(1−a))，
∴-(2a+6)/(2(1−a))=-1，
∴a=-1，
所以y₁=-x²+2x+1，y₂=2x²+4x+11；
（3）由y₁=-（x-1）²+2，得函数y₁的图象为抛物线，其开口向下，
顶点坐标为（1，2）；
由y₂=2x²+4x+11=2（x+1）²+9，得函数y₂的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为（-1，9）；
故在同一直角坐标系内，函数y₁的图象与y₂的图象没有交点．