I梯形ABCD中,AB平行DC,AC垂直BD,M,N分别是AB,CD的中点,P,Q分别是BD,AC的中点,若MN＝5,PQ＝3求AB,CD的长

Question

I梯形ABCD中,AB平行DC,AC垂直BD,M,N分别是AB,CD的中点,P,Q分别是BD,AC的中点,若MN＝5,PQ＝3
求AB,CD的长

Answer 1

设CD>AB,AC、BD交点为O,对于三角形ABO,有
AO⊥BO,M为AB中点,则MO=AB/2
同理,NO=CD/2
已知MN＝5,则AB+CD=10…………（1）
对于三角形ABO、CDO、QPO,由于AB∥CD,且P,Q分别是BD,AC的中点,则AB∥CD∥PQ,3个三角形为相似三角形.
另有
PO=DO-PD
PO=BP-BO
BP=PD
则2PO=DO-BO
根据相似三角形可知
2PQ=CD-AB
已知PQ＝3,则
PQ=（CD-AB）/2=3
则CD-AB=6…………（2）
由（1）、（2）联立求解
AB=2
CD=8